设 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=A$, 则
\[
\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}=A.
\]

也就是说, 如果一个数列收敛到 $A$, 则这个数列的前 $n$ 项的平均值也收敛到 $A$.

但是, 逆命题不成立. 例如 $\{a_n=(-1)^n\}$.

应用.

例. 求极限

\[\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n})\]

这显然等于 0. 与之相关的一个极限是

\[\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\ln n}(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n})\]

参见问题1933